Problem:
1. Du har nio kulor varav en väger något mindre än
de andra åtta kularna som alla väger lika mycket.
Du har även tillgång till två
balansvågar där den ena är finjusterad och känner
av viktskillnaden
mellan en normal kula och den lätta kulan.
Den andra vågen däremot är trög och ger inte utslag
för
så små viktskillnader. Du
vet inte vilken våg som är finjusterad.
Kan du på tre vägningar hitta den
defekta kulan?
2. Fyra flickor - Anna, Berit, Cecilia och Desiré har alla
en tiokrona var som de skall köpa
glass för. Vid glasståndet står
också fyra pojkar - Anders, Bertil, Carl och David som alla
har var sin 20-kronorssedel som de skall köpa
en glass var för. Glassen kostar tio kronor.
Mannen i glasståndet har inga växelpengar.
De åtta barnen ställer upp sig i kö framför
glasståndet. I hur stor del av samtliga
möjligheter att ordna kön kommer mannen i ståndet
att kunna sälja sina glassar utan att
det blir bekymmer med växeln?
Lösning:
1. Lägg 1 kula åt sidan och väg 4 mot 4 på en
av vågarna. Om det väger lika lägg undan 2 av de
8 och väg 3 mot 3 på den andra vågen, om lika väg
de 2 undanlagda mot varandra på samma våg. Om lika så
är det den först undanlagda kulan som väger för lite.
Om det i föregående läge var så att det vägde
olika vid 3 mot 3, så är det en av de 3 kulorna som väger
upp. Lägg 1 av dessa åt sidan och väg de övriga mot
varandra på samma våg. Vid lika är det den man lade åt
sidan, vid olika är det den som väger upp. Om det i fallet 3
mot 3 väger lika väger man de 2 undanlagda mot varandra om de
väger olika är det den som väger upp. Notera att i fallet
då allting hela tiden väger lika är det den först
undanlagda kulan som väger för lite men vi vet inte vilken av
vågarna det är som inte är finjusterad.
Om i första fallet det väger olika i läget 4 mot 4 är
det en av de 4 kulorna som väger upp. Tag 2 av dessa och väg
mot varandra, vid lika väg de 2 andra motvarandra..
2. Kalla flickorna 1 och pojkarna 0. Glasskön består således av fyra1:or och fyra 0:or. Det måste stå en 1:a först eftersom det saknas växel. Det måste också alltid vara en 0:a sist ty annars tar växelpengarna slut. Nedan ges en systematisk framställning av de möjliga raderna, så när som på den inbördes ordningen mellan flickorna respektive pojkarna.
1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 0 0 1 0 0
1 1 1 0 0 0 1 0
1 1 0 1 1 0 0 0
1 1 0 1 0 1 0 0
1 1 0 1 0 0 1 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 1 0 0 0
1 0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 1 0 0 1 0
1 0 1 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
I varje rad kan flickorna respektive pojkarna permuteras på 4*3*2*1*=24
sätt ,vilket ger att varje rad kan se ut på 24*24 sätt.
Det finns 14 rader och vi får således 14*24*24 fungerande glassköer.
Det totala antalet möjligheter att bilda en glasskö med 8
personer är 8*7*6*5*4*3*2*1=70*24*24 .
Den sökta andelen blir då 14/70 = 1/5 eller 20%.