Februari 2011

Martin och Tomas åker skidor en blåsig dag. De åker sittlift som tar 5 minuter upp. Men blåsten gör färden väldigt kall och obehaglig, så de funderar på att istället åka ankarlift som går parallellt med sittliften och är lika lång. Eftersom den går delvis mellan träden, så blåser det inte lika mycket där. Den är dock långsammare än sittliften. För att ta reda på hur lång tid det tar att åka upp med ankarliften, så startar de på sittliften precis samtidigt med ett ankare (som inte räknas) och så räknar Martin hur många ankare de kör om under hela sin färd upp på sittliften (inklusive det ankare som de kör ifatt precis på toppen). Samtidigt räknar Tomas hur många nedåtgående ankare de möter på samma sträcka (inklusive ankaret på toppen). Martin får 12 och Tomas 52 ankare. Hjälp dem att räkna ut hur lång tid ankarliften tar uppför backen.

Lösning          

---

Mars 2011

(a) Eva har lika många vita och svarta strumpor i sin låda. Hon väljer slumpmässigt två stycken. Är det mer sannolikt att hon får två lika eller två olika strumpor?
(b) Hanna, å andra sidan, har olika många blåa och gula strumpor och om hon slumpmässigt väljer två strumpor, så är sannolikheten exakt 50 procent att de har samma färg. Visa att antalet strumpor i Hannas låda är en kvadrat.

Lösning          

---

April 2011

I det tredimensionella rummet har varje punkt en av fyra färger. Visa att det för varje positivt tal r finns två punkter i rummet med avstånd r från varandra och samma färg.

Lösning          

---

Maj 2011

Låt a och b vara reella tal sådana att an²⁰¹¹+b är heltal för varje positivt heltal n. Visa att a och b är också heltal.

Lösning          

---

Vårterminens vinnare:   Karl Amundsson och Daniel Andulv .

---

Sommar 2011

1. En simbassäng fylls normalt på 4 timmar med tre slangar samtidigt. När man senast skulle fylla den, så gick slang 1 sönder efter 2 timmar och man fortsatte med bara slang 2 och 3. Efter ytterligare 2 timmar gick även slang 2 sönder. Då var det exakt en sjättedel av bassängen kvar att fylla. Denna sjättedel fylldes med endast slang 3 på 4 timmar. Hur lång tid skulle det ha tagit att fylla hela bassängen med endast slang 1?

2. Sanna och Tobbe löptränar i skogen. De har var sitt favoritspår. Sanna springer i 2,5km spåret och Tobbe i 1km spåret. Spåren har gemensam startpunkt men skiljer sig sedan åt och har endast de sista 500m gemensamma innan de kommer tillbaka till startpunkten. Sanna springer dubbelt så snabbt som Tobbe. Om båda startar samtidigt, hur många varv måste Tobbe springa innan han träffar Sanna igen? Om han istället springer 1km spåret åt andra hållet, hur många gånger skulle han träffa Sanna på lika många varv?

3. Medan de springer, "parkerar" Sanna sin kanin vid en gräsplätt i form av en triangel med en sida 6m och närliggande vinklar 45^o och 75^o. Kaninen är fäst med ett 3m långt snöre i mitten av den 6m långa sidan. Den kan alltså springa i en cirkel och äta gräset på motsvarande delen av gräsplätten. Hur stor är den ytan där kaninen kan äta gräs?

Lösning          

---

September 2011

Alla pappersark i A-serien (t.ex. A3, A4 och A5) har samma förhållande mellan sina sidlängder. Dessutom gäller att papperet av mindre storlek fås genom att halvera det större papperet. Alltså består A4 papper av exakt två A5 ark.
(a) Bestäm förhållandet mellan sidländger.
(b) Ett A4 papper viks längs diagonalen. Man får då en triangel som är "dubbelvikt" och två "enkla" trianglar. Hur stor del av papperets yta utgörs av den dubbelvikta triangeln?

Lösning          

---

Oktober 2011

Moa gjorde en halvdagsutflykt. Hon startade lite efter kl. 8 när visarna på hennes klocka stod exakt i en rak linje och pekade åt motsatta håll. När hon innan kl. 12 kom tillbaka var visarna också i en rak linje och pekade åt motsatta håll. Bestäm med en sekunds noggrannhet hur länge Moa var på utflykten.

Lösning          

---

November 2011

Enligt legenden fick schackets uppfinnare välja ett pris. Han valde att få ett risgryn på första schackrutan, två på andra, fyra på tredje, åtta på fjärde, osv. 2^n-1 gryn på n-te rutan. Hur många rutor behövs för att få åtminstone 1000 gryn? Vilka rutor skall man välja för att få exakt 1000 gryn?
Om man istället lägger 1, 3, 9, 27, ..., 3^n-1, ... gryn på varje ruta, kan summan på några rutor bli exakt 1000 gryn? Kan den bli exakt 2011 gryn?
För vilka heltal k > 1 kan man lägga k^n-1 gryn på n-te rutan, n = 1, 2, ..., 64, och summan på några rutor blir exakt 2011?

Lösning          

---

Julnötter 2011

1. För vilka tal p och q har ekvationen x³ + p x² + q x + 2011 = 0 endast heltalslösningar? Hur många olika par (p,q) blev det?
Hur många olika par skulle det bli om vi bytte ut 2011 mot 2012?

2. Talet N fås genom att skriva ner alla tal från 1 till 2012 efter varandra så här:
N = 1234...910111213...100101102103...201020112012.
Hur många siffror har N? Är det delbart med 12?

Lösning          

---

Vinnare:   Toomas Liiv .

---